Metodi matematici della fisica: geometria e gruppi 2

A.A. 2020/2021
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
FIS/02
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso si prefigge di fornire allo studente le basi per lo studio dei
sistemi fisici con simmetrie continue, attraverso lo studio sistematico
dei gruppi di Lie e delle loro rappresentazioni. Il corso fornisce delle
conoscenze importanti per affrontare i corsi di Fisica Teorica, Teoria
delle Interazioni Fondamentali e Gravità e Superstringhe.
Risultati apprendimento attesi
Al termine del corso lo studente:

1) saprà maneggiare alcune nozioni basilari di geometria differenziale:
varietà, spazi e fibrati tangenti, campi vettoriali, forme differenziali
2) conoscerà le nozioni di gruppo di Lie e algebra di Lie e la relazione
tra essi. Conoscerà inoltre le nozioni di sottogruppo a un parametro,
mappa esponenziale, rappresentazione aggiunta, forma di Killing
3) conoscerà la classificazione delle algebre di Lie semisemplici
complesse e le nozioni di sottoalgebra di Cartan, radice, diagramma di
Dynkin, forma reale di un'algebra complessa
4) conoscerà e saprà maneggiare la teoria delle rappresentazioni delle
algebre di Lie semisemplici e i diagrammi dei pesi. Conoscerà la relazione
tra le rappresentazioni di un'algebra di Lie e quelle del gruppo di Lie
associato
5) saprà maneggiare i prodotti di rappresentazioni
6) saprà decomporre le rappresentazioni delle algebre in termini di
rappresentazioni di sottoalgebre
7) conoscerà in dettaglio alcuni gruppi con particolare rilevanza in
fisica: i gruppi unitari U(N), i gruppi ortogonali O(N), il gruppo di
Lorentz e il gruppo di Poincaré, le cui rappresentazioni sono classificate
tramite massa e spin.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Primo semestre
L'insegnamento potrà essere erogato interamente da remoto se vi fossero
limitazioni alla mobilità legate all'emergenza sanitaria. In tal caso le
spiegazioni verranno offerte in aule virtuali (piattaforma zoom) in
collegamento sincrono, con la possibilità di interazione in tempo reale
tra gli studenti e il docente.
Programma
Nel corso vengono studiati i gruppi di Lie e le algebre di Lie e vengono
discussi vari aspetti della teoria delle loro rappresentazioni.

- Geometria differenziale: varietà, spazi e fibrati tangenti, campi
vettoriali, forme differenziali
- Gruppi di Lie e algebre di Lie. Relazione tra algebra e gruppo.
Sottogruppi a un parametro. Mappa esponenziale. Rappresentazione aggiunta.
Forma di Killing.
- Classificazione delle algebre di Lie semisemplici complesse:
sottoalgebre di Cartan, radici, diagrammi di Dynkin. Forme reali.
- Rappresentazioni irriducibili delle algebre di Lie semisemplici. Relazioni
tra le rappresentazioni di un'algebra di Lie e quelle del gruppo di Lie
associato. Pesi. Prodotti di rappresentazioni.
- Sottoalgebre e sottogruppi. Decomposizione di rappresentazioni.
- Analisi di simmetrie con particolare rilevanza in fisica. I gruppi
unitari U(N) e ortogonali O(N). Il gruppo di Lorentz. Il gruppo di
Poincaré: classificazione delle sue rappresentazioni tramite massa e spin.
Prerequisiti
Conoscenze di analisi matematica e algebra lineare.
Metodi didattici
Lezioni alla lavagna con discussione teorica e svolgimento di esercizi
sugli argomenti trattati.
Materiale di riferimento
MATERIALE DI RIFERIMENTO:

- F. Warner, "Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups"
- J.F. Cornwell, "Group Theory in Physics", Vol.1 and Vol.2
- A. Arvanitoyeorgos, "An Introduction to Lie Groups and the Geometry of
Homogeneous Spaces"
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Esercizi da svolgere a casa ed esame orale con discussione delle soluzioni
e degli argomenti trattati a lezione.
FIS/02 - FISICA TEORICA, MODELLI E METODI MATEMATICI - CFU: 6
Lezioni: 42 ore