Processi stocastici

A.A. 2020/2021
6
Crediti massimi
42
Ore totali
SSD
FIS/03 FIS/04
Lingua
Italiano
Obiettivi formativi
Il corso vuole insegnare i metodi della meccanica statistica di non
equilibrio, come le catene di Markov, le equazioni stocastiche,
l'espansione di Moyal, l'equazione di Fokker-Planck, la riduzione
dimensionale alla Mori-Zwanzig
Risultati apprendimento attesi
Lo studente conoscerà la teoria ed i metodi della meccanica statistica di non equilibrio, che stanno alla base della modellizzazione fisica di
fenomeni cinetici e di diverse tecniche di analisi dati.
Programma e organizzazione didattica

Edizione unica

Responsabile
Periodo
Secondo semestre
Programma
1) Processi stocastici
Un esempio: il random walk in tempi discreti
Review di variabili stocastiche
Processi stocastici: definizioni, momenti, stazionarietà, densità spettrale, funzionari caratteristici
Esempi: processo di Galton, processo di Ornstein-Uhlenbeck .
Processi di Markov. Definizioni e proprietà. Random walk con persistenza. Equazione di Chapman-Kolmogrov. Processi di Wiener e di Poission.
Catene di Markov. Esempio: decadimento nucleare.
La master equation: derivazione. Matrici stocastiche e loro proprietà. Matrici con proprietà specifiche. Esempio: decadimento del pione. Bilancio dettagliato. Esistenza e unicità della soluzione stazionaria. Bilancio dettagliato in sistemi Hamiltoniani. Equazioni macroscopiche. Espansione in autofunzioni. L'equazione aggiunta.
Stochastic monitoring.
Processi di nascita-morte. Il problema dei confini. Esempi: reazioni chimiche.
L'espansione della master equation.
Processi markoviani di tipo diffusivo.
Problemi di epidemiologia.
Algoritmo di Gillespie e Finite State Projection.

2) L'approccio di Langevin
Bagno termico di oscillatori armonici.
L'equazione di Langevin.
Equazioni differenziali stocastiche. Introduzione al calcolo di Ito e Stratonovich.
Teoria della risposta lineare.
Relazioni di fluttuazione-dissipazione in dinamica di equilibrio.

3) L'equazione di Fokker-Planck
Derivazione.
Espansione di Kramers-Moyal.
L'equazione backward.
Teorema di Paula.
Formulazione path-integral.
Esempio: il moto browniano
Metodi di soluzione. Esempio: potenziale bistabile
Riduzione dimensionale.
Prerequisiti
Basi di meccanica statistica.
Metodi didattici
Lezione frontale
Materiale di riferimento
Van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry, North Holland.
H. Risken, The Fokker-Planck equation, Springer
R. Zwanzig, Nonequilibrium statistical mechanics, Oxford University Press
Modalità di verifica dell’apprendimento e criteri di valutazione
Colloquio orale di circa mezz'ora per verificare grado di comprensione dello studente degli argomenti trattati nel corso.
FIS/03 - FISICA DELLA MATERIA - CFU: 0
FIS/04 - FISICA NUCLEARE E SUBNUCLEARE - CFU: 0
Lezioni: 42 ore
Docente: Tiana Guido
Siti didattici
Docente/i
Ricevimento:
venerdi 11-13 su appuntamento